Le Problème des Grandes Puissances Et Celui des Grandes Racines

Let f be a function from N to N that can not be computed in polynomial time, and let a be an element of a differential field K of characteristic 0. The problem of large powers is the set of ttuples = (XI . -Yx,,) of K so that x = a , and the problem of large roots is the set of ttiples .xof K so that a = . These are two examples of problems that the use of derivation does not allow to solve quicker. We show that the problem of large roots is not polynomial for the differential field K. even if we tise a polynomial ntimber of parameters. and that the problem of large powers is not prolynomial for the differential field K, even for non-uniform complexity. The proofs use the polynomial stability (i.e.. the elimination of parameters) of field of characteristic 0. shown by L. Blumr. F. Cucker. M. ShLb and S. Smale, and the redUction lermma, that transforms a differential polynomial in variables into a polynomial in variables xand their derivatives. Soit K un corps commutatif de caracteristique nulle. I1 existe des questions auxquelles nous pouvons repondre a l'aide de peu d'operations. Par exemple, si ao, .... a,, et b sont des elements de K, nous pouvons savoir si b est racine du polynome ao + a1X + + aX" grace a l'algorithme de Horner avec n additions. autant de multiplications, et un test d'egalite 'a 0. Nous representons ces calculs par un grape, que nous appelons circuit. Les operations que nous autorisons sur un corps sont la soustraction, l'addition, la multiplication, et le test d'egalite 'a 0. Nous pouvons alors chercher quel est le nombre minimal d'operations 'a effectuer pour resoudre une question donnee. Si nous enrichissons notre corps d'une derivee, nous avons une operation supplementaire. La complexity des calculs reste-t-elle la meme ? Nous etudions deux exemples, celui des grandes puissances et celui des Received September 30, 1998; revised April 4, 1999. Travail realise a l'Institut Gerard Desargues, UPRES-A 5028, Universite Claude Bernard, Lyon I, 43 Bd du 11 novembre 1918, 69 622 Villeurbanne Cedex, France. ? 2000. Association for Symbolic LogiC 0022-4812/00/6504-001 0/$2. 1 0